传输线等效模型

一、简介20世纪电子技术的迅速发展得益于一种简单但功能强大、被称为集总电路理论的工具的应用该理论能够准确预测复杂电路的性能。电路理论考虑串联和/或并联连接的集总元件电阻R、电容C、电感L、受控源的影响而导线不起作用与空间无关的电压v、电流i。事实上元件和导线提供了一个框架电荷在其上移动建立起电场和磁场矢量场并决定电路的行为。基于麦克斯韦方程组的全矢量分析是最完整的。1.1 电信号的速度有人会说信号的速度不就是电子移动速度吗当然不是反直觉的是导线中电子移动的速度很是缓慢。在电路中电子受电场作用产生的定向移动速度被称为漂移速度。电流的产生与微观粒子的运动紧密相关。假设单位体积内的导体中有n个带电粒子每个粒子带有电荷量e且它们以速度v在导体中做定向运动。如果考虑导体的截面积S和单位体积长度L那么在单位时间内t内通过截面S的电荷量Q满足电流定义是单位时间内通过的电荷量两边同时对时间t微分就能得到电流I。以1mm²的铜导线为例通1A电流时电子漂移速度仅约0.07mm/s比蜗牛爬行还慢。可见电信号如果以漂移速度传播信息那就太慢了与我们直觉是不符的。电流是在电场的作用产生的因此可以想象电场建立就伴随这电流的产生可见电场的建立速度才是电信号的传播速度。电路中信号建立的速度近似等于光速的50%-99%具体取决于导线材质、绝缘层和周围介质。1.2 集总电路不适用的情况电力公司通过在空气中传播的60赫兹正弦波来分配电力振荡周期T 1/60秒速度v c。电源和负载信号即VAA′​(t)V0​cos(2π⋅60⋅t)和VBB′​(t)V0​cos[2π⋅60⋅(t−td​)]存在一个“不可忽略”的时间延迟td​l/v因此如果td​0.01T经验法则可见导线对于电路已经存在了不可忽略的影响。当l50千米集总电路模型是不充分的。因此电力系统的运行依赖于分布电路分析。在数字电子电路中上升时间tr​被定义为信号从其最终值的10%变化到90%所需的持续时间图a。对于1厘米的片上二氧化硅SiO2​互连速度v≈0.5c延迟时间td​l/v≈67皮秒1皮秒 10−12秒。如果tr​td​≈165皮秒经验法则则电源和负载信号存在“不可忽略”的时间延迟器件之间的互联线不再可以忽略。CMOS晶体管的上升时间可以快至100皮秒这时就需要分布电路理论。经过上面的讨论当电路尺寸很大互联线尺寸比如很大。由于电信号传播速度有限其在互联线传播时间很难再被忽略。而对于高速电路系统而言由于系统速度很高处理的信号时间达到ps级所由对信号这个量级影响将不再可以忽略。即便信号尺寸小信号传递时间依然不再可以忽略。经验法则人们定义电小尺寸定义不可忽略忽略最小尺寸。在电磁学与电路分析领域电小尺寸是指物体或电路的几何尺寸远小于其工作波长λ的状态通常满足其中l为目标的最大几何尺寸λ为信号在介质中的工作波长。比如工频50/60Hz电力系统信号波长λc/f≈5000km日常家用导线仅几米级远小于λ/10可以直接用集总参数电路模型分析无需考虑分布参数效应。当工作频率提升到微波频段如10GHz自由空间波长仅3cm此时哪怕几毫米的PCB走线都可能进入电小尺寸临界区间需要结合分布电路理论分析。二、传输线等效电路2.1 传输线传输线transmission line是用于引导电磁能或电信号从一点传输到另一点的线状结构是射频与通信系统的核心组成部分。当传输信号的波长与导线几何尺寸可比拟时必须考虑电阻、电感、电容、电导沿线的分布效应需要用专门的传输线理论分析这是它和普通低频导线的核心区别。传输线可以大致分成三种类型。第一中是双导体传输线他由两根或者两根以上的平行导体构成。其传输的电磁波是TEM或者准TEM波故又称为TEM波传输线主要包括平行线同轴线带状线和微带线等。第二类是均匀填充介质的金属波导因电磁在管内传波故称为波导。包括矩形波导圆波导脊形波导和椭圆波导。第三类是介质传输线电磁波沿传输线表面传播被称为表面波波导主要包括介质波导镜像线和单根表面波传输线等。匀传输线的分析方法通常有两种一种是场分析法即从麦克斯韦方程出发求出满足边界条件的波动解得出传输线上电场和磁场的表达式进而分析传输特性另一种是等效电路法即从传输线方程出发求出满足边界条件的电压、电流波动方程的解得出沿线等效电压、电流的表达式进而分析传输特性。前一种方法较为严格但数学上比较繁琐后一种方法实质是在一定的条件下“化场为路”有足够的精度数学上较为简便因此被广泛采用。2.2 传输线等效模型由均匀传输线组成的导波系统都可等效为下图(a)所示的均匀平行双导线系统。其中传输线的始端接微波信号源简称信源终端接负载选取传输线的纵向坐标为z坐标原点选在终端处波沿负z方向传播。在均匀传输线上任意一点z处取一微分线元ΔzΔz≪λ该线元可视为集总参数电路其上有电阻RΔz、电感LΔz、电容CΔz和漏电导GΔz其中RLCG分别为单位长电阻、单位长电感、单位长电容和单位长漏电导得到的等效电路下图(b)所示则整个传输线可看作由无限多个上述等效电路级联而成。有耗和无耗传输线的等效电路分别下图(c)(d)所示。我们分析有损传输线的情况他比无损传输多了电阻只要在得到结论中忽略掉电阻就不难得到有损传输线的情况。设在时刻t传输线某处z的电压电流分别位u(z,t)和i(z,t)。在位置zΔz处的电压电流分别为u(zΔz,t)和i(zΔz,t)Δz是一个高阶小量。对上述单元应用基尔霍夫电压和电流定律可以得到下面方程组u(zΔz,t)-u(z,t)和i(zΔz,t)-i(z,t)的值可以表示成偏微分这样就能消除式中的高阶小量。得到下面的偏微分方程组。这就是传输线方程也称为电报方程。对于电路处理来说使用拉普拉斯变化求解上述方程对我们来说更简单。其思想是是将电压电压转换拉式域消除时间t求得结果后进行逆拉普拉斯变化得到时域的解。对上述方程两边同时进行拉普拉斯变换消去时间导数项有下面结果。可以看出微分方程被从偏微分方程变成了常微分方程这就是变换带来的好处。为了联立两个方程对上述方程组对z进行二次求导。带入消元后得到两个微分方程上述方程式是二阶齐次线性微分方程如果(RLs)(GCs)为常数上述就是二阶常系数齐次性微分方程组其通解很容通过求系数的根得到。我们这里分析的是均匀传输线因此可以看作相对于z是常数。这里讨论其为这种情况令γ(s)sqrt((RLs)(GCs))得到通解为。结合传输方程上式中电流还可以表述为上式中的系数等于特性阻抗Z0​是传输线的固有特性参数反映了传输线对行波的等效阻碍作用。特性阻抗是仅由传输线本身参数决定的复常数与传输线长度无关。上面公式表明当入射信号沿传输线传播到负载端阻抗突变界面时为了满足界面两侧电压、电流连续的边界条件会分裂为两个分量透射分量传输电压和反射分量反射电压。这对此稍作解释负载得到的功率可以电压电流的乘积表示上式分子分母同除ZL可以变化为类双钩函数。由双钩函数性质不难得出当ZLZ0时负载功率才能获得最大值。当ZL-∞或ZL0时功率都会变成0。透射分量穿过阻抗界面继续向负载方向传输反射分量在界面处生成后沿传输线反向向信号源端传播不会继续流向负载。一般将传输线任意一点z的入射电压和反射电压之比称之为反射系数电报方程的解也可以用反射系数表示为2.3 传输线方程的时域解2.3.1 传输方程方程的一般时域解对于一般有损传输线无法直接用时移性质逆变换需要通过逆变换的卷积性质推导其中利用拉普拉斯逆变换的延迟卷积定理对入射波项做拉普拉斯逆变换结果为I1​(⋅)是第一类一阶修正贝塞尔函数δ(⋅)是冲激函数u(⋅)是单位阶跃函数。上述传输线是一般的情况存在波形畸变色散需要数值计算得到结果。这种高损耗传输线对不同频率会有不同色散传播速度不同这是我们所不希望。色散的存在将使传输信号严重失真。2.3.2 低损耗传输线的时域解工程中大部分实际场景都是低损耗传输线满足 R≪ωL,G≪ωC对正弦稳态而言此时可以对 γ(s) 做泰勒展开近似并只保留一阶项得到。这里 Z0​近似为常数α 是固定衰减常数。代入s域解后得到简化形式利用拉普拉斯时移性质直接逆变换得到低损耗近似下的时域解利用拉普拉斯时移性质直接逆变换得到低损耗近似下的时域解和一般情况的传输线相比区别仅在于信号每传播单位距离幅度会按指数衰减波形形状和波速保持不变非常直观。2.3.4 无损耗传输线的时域解对于无耗传输线R0,G0此时同上面的方法利用拉普拉斯时移性质直接逆变换可以得到时域信号的精确解相对于低损耗传输线无损耗传输线入射波和反射波分别以恒定速度v向z和−z方向传播传播过程中波形完全不发生畸变。2.3.5 传输线的边界条件上面给出一般的时域解但是u1(t)和u2(t)如何确定呢这两个时域解可以由传输的边界条件得到。目前有下面三个边界条件帮我们确定待定系数终端电压UT(s)时域ut(t)和终端电流IT(s)时域it(t);源端电压Us(s)时域us(t)和源端电流Is(s)时域is(t);负载阻抗ZL源阻抗Zg和信号源Ug(s)。终端边界条件将边界z0时的条件代入上面的通解联立上式可以解出根据终端电流电压和阻抗的关系进一步得到源端边界条件将边界zl时的条件代入上面的通解联立上述方程组得到源端电压和电流和信号源Ug(s)和内阻Zg(s)满足下面的公式联立上述方程变为联立终端和源端边界条件消除UT(s)可以得到US(s)为Γg称为源端的反射系数其说明了源端的匹配程度。将US(s)带入得到U1(s)和U2(s)的解为因此我们在求u1(t)和u2(t)时只需要对上述的公式做拉普拉斯逆变换就能得到。 下面只讨论低损耗传输线和无损耗传输线的情况。根据几何级数关系我们能得到假设源阻抗和和终端阻抗都是实数即纯电阻上面的拉普拉斯逆变换将会变得简单些最后得到传输上线的电压的分布关系上式的物理意义非常清晰这是多次往返反射的叠加解每一次反射后幅度按 (Γg​ΓL​e−2αl) 衰减按传播时延依次出现在时域。而且能看出当源阻抗或者终端匹配即Γg0或者ΓL0这种多次往返反射的情况将会消失。对于无损传输线上述项中的α衰减项将会被去掉衰减有反射系数确定。无损耗的传输线上式变为2.3.5 阶跃信号的时域解阶跃信号有很多数字信号的性质研究阶跃信号很有意义。如果输入是阶跃信号 Ug​(t)U0​u(t)则 Ug​(s)U0​/s传输线为无损耗传输逆变换后得到时域解析解Γg和ΓL都不为0时对于阶跃函数只有当t[(2n1)l±z]/v时其函数值从0变为1。这说明随着n的增大对应波形项出现在公式中的时间越晚。这也很容以理解n代表第n次反射后的波形其出现反射次数越大自然出现的越晚。假设经历的时间足够久了那么所有项都出现了此时的电压为稳态电压。ΓgΓL1通过几何级数可以得到。即便是电压来回地反射最终的稳态电压和特性阻抗是无关的最终都会稳定到下面值。仿真运行得到源端和终端的时域信号波形如下如图所示。红色是终端波形蓝色是源端波形。终端匹配ΓL0时当终端匹配时ΓL0终端信号不会出现反射上式中仅存在n0的情况。此时稳态电压看似和特性阻抗有关但是有终端匹配ZLZ0可见稳态电压还是前面相同。公式说明信号仅存在一个时延不会多次来回地反射。值得注意的是终端匹配后和终端即源端都匹配得到公式和上面是一样的。由于ZgZ0终端得到的电压是1/2U0。源端匹配Γg0时当源端匹配时Γg0终端信号只会发生一次反射上式中也仅存在n0的情况。可见除了一个正向传播的信号还存在一个反射波和预想的一样。源阻抗匹配后效果如下可以看见源阻抗匹配后VIN会有台阶但是末端信号确实正常的。这是我们经常会遇见的现象测量一些高频信号如果测量是走线中间会看见明显的台阶这是正常的。但是测试点在中间测试数据是不真实的应为信号是要求背传输到末端的此时末端的数据才是可靠的。2.3.6 时谐信号传输线的时域解任何迪利克雷判条件的信号都可以表示成一些三角函数的和形式。因此我们这里重点分析三角函数为信号源时上述电路时域解。假设源信号Ug(t)Asin(ωt)传输线的源阻抗和负载电阻均为纯电阻满足低损耗低损耗传输线的条件上述表达式太复杂了虽然可以分析信号的每个位置的瞬时状态。对正弦信号而言我们肯定更多的关注其稳态特性。下面我们介绍正弦稳态分析法。*正弦稳态分析法的原理正弦稳态是指传输线已经完成了所有暂态过程任意位置的电压/电流都是与源同频率的正弦信号仅振幅和相位随位置变化。传输线可以看出一个线性时不变系统并不会产生新的频率使用正弦稳态分析法时合理的。弦稳态分析的核心原理基于线性时不变系统的齐次性叠加性和正弦信号的微分不变性。根据线性时不变系统的特性单一频率正弦激励下稳态响应一定是同频率的正弦信号仅振幅和相位相对于激励发生变化。因此我们不需要求解含时间的完整瞬态解只需要计算响应的振幅和相位两个参数即可这是相量法成立的核心基础。由欧拉公式可知从上面公式可见一个正弦型号可以用一个复指数的的是不表示。我们可以使用复指数代替正弦信号作为系统信号输入。根据线性识别不变系统的可加性可知系统响应输出也被分成了虚部和实部两部部分。线性时不变系统输入的正弦信号稳定后只会改变输入信号的相位和幅值。h(t)一般是真实信号系统输入实信号输出任然为实信号。虚信号则可以看成i的乘积根据比例性原理其输出任然为虚信号。因此很容易知道正弦信号的输出系统的响应为系统输出的实部。即因为传输响应输出也可表示成三角函数这里令将上面两式带入电报方程就能消除时间的积分项可以看出式子中每一项包含电流或电压的项都包含了指数可以消除复指数这就是使用复指数带来的好处。很多时候再用稳态分析法时我们都会忽略掉复指数这里只是为了展示稳态分析的原理才写了出来。经过处理现在的电报方程已经和拉普拉斯变化的形式一致了。我们直接使用前面的结论可以得到上述方程的解为上式中到这里已经求处U(z,ω)和I(z,ω)它们很可能是一个复数。将其这个复数的模和相位和之前消掉复指数组成了完整响应我们只要求出其实数部分就得到了正弦信号的稳态响应。与拉普拉斯逆变换相比求复数的相位角和模值相对了说简单了很多。前面的边界条件的结论依然适用令γ(ω)α()jβ(ω)上面公式变为根据前面的讨论可知稳态电压和电流分布为可以得到的u(z,t)Φu2(ω)说由终端反射系数对输入波造成的相移。虽然得到稳态下时域的电压分布上述表达式依然很复杂我按照前面的方式无损传输线低顺传输线和有损传输线三种情况下的变化。为了最简单我们还认为源电阻和终端电阻为纯电阻有Φu2(ω)0。无损传输线假设传输满足无损耗条件γ(ω)的值采样前面拉普拉斯变换的数值α和β都是实数且α0βω/v。于是有关注终端电压令z0得到当信号的周期Tωl/v)≈1。这说明此时传输线对信号几乎没有影响终端接收到的电压仅由源端内阻和终端负载比值绝对。这和集总电路得到的结果时一样的。当不满足上述条件时传输线对电压幅值影响将不在可以忽略。在阻抗不匹配的情况下不同信号频率或者不同的传输线都将对信号产生不同程度的衰减和相移。所以在高频线路中阻抗匹配都是极为重要的。为了说明这个现象现在我们使用ADS仿真进行验证搭建仿真电路如下图仿真分析结果如下将频率改为233.33333MHz输出响应发生了巨大变化。显然在阻抗不匹配时传输线终端电压会因为频率变化而变化。这就是阻抗不匹配的其中一个危害。仿真得到源端和终端不匹配时传输线的频率响应曲线。代入仿真值ΓgΓL-2/3中间根号相数值在1到5之间和下面的仿真结果一样。当源端阻抗匹配时仅源端匹配时的频率响应。从下图可以看见虽然电压无衰减地传输到负载上看起了似乎很好。我们在前面讨论过负载不匹配会造成反射使入射电压变小传输到负载功率很小。所以在射频上为了实现功率的传输一定要做终端的阻抗匹配。终端匹配时仅终端匹配时的频率响应只源端匹配可以消除两边阻抗不匹配带来的终端电压幅度随频率变化的问题。和终端匹配一样为了保证信号的功率能够最大地传输到传输线上源端也要做阻抗匹配。源端和终端均都匹配时的频率响应电压幅度为信号源幅度1/2。所以很多函数型号发生器都会有一个50ohm负载模式会将源端电压变为原来的2倍补偿衰减的电压。虽然电压衰减了此时负载能得到的功率确实最大。分布电路传输线理论连接了电路理论和麦克斯韦方程组。一方面它可以描述一些在电路理论中不存在但在功率传输和现代集成电路中至关重要的波特性波长、相速度、反射等。另一方面它像电路理论中一样处理标量量vi但多了一个空间变量z无需复杂的矢量分析。