2.3 柯西积分公式【习题2.3-7】利用柯西积分公式证明

7. 证明 ∫ 0 2 π e ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ( ρ sin ⁡ θ − n θ ) d θ 2 π ρ n n ! n 为自然数 解令 g ( z ) e z 则 g ( n ) ( z ) 为 g ( z ) 的 n 阶导数、 e z 解析全域 g ( n ) ( 0 ) n ! 2 π i ∮ C e z z n 1 d z 1 其中 C 是半径为 ρ 中心为 0 的圆 1 n ! 2 π i ∫ 0 2 π e ρ e i θ ρ n 1 e i ( n 1 ) θ i ρ e i θ d θ 2 π ρ n n ! ∫ 0 2 π e ρ ( cos ⁡ θ i sin ⁡ θ ) cos ⁡ n θ i sin ⁡ n θ d θ ∫ 0 2 π e ρ cos ⁡ θ [ cos ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) i sin ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) ] cos ⁡ n θ i sin ⁡ n θ d θ ∫ 0 2 π e ρ cos ⁡ θ [ cos ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) i sin ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) ] ( cos ⁡ n θ − i sin ⁡ n θ ) ( cos ⁡ n θ i sin ⁡ n θ ) ( cos ⁡ n θ − i sin ⁡ n θ ) d θ ∫ 0 2 π e ρ cos ⁡ θ [ cos ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) ⋅ cos ⁡ n θ sin ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) ⋅ sin ⁡ n θ ] i [ sin ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) cos ⁡ n θ − cos ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) sin ⁡ n θ ] d θ ∫ 0 2 π e ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ( ρ sin ⁡ θ − n θ ) d θ i ∫ 0 2 π sin ⁡ ( ρ sin ⁡ θ − n θ ) ⏟ 奇函数积分为 0 d θ ∫ 0 2 π e ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ( ρ sin ⁡ θ − n θ ) d θ \begin{aligned} 7. 证明 \displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{\rho \cos\theta} \cos(\rho \sin\theta - n\theta) d\theta \displaystyle \frac{2\pi \rho^n}{n!}n 为自然数\\ 解令 g(z)e^z则g^{(n)}(z) 为 g(z) 的 n 阶导数、e^z 解析全域\\ g^{(n)}(0)\displaystyle \frac{n!}{2\pi i} \oint_{C} \frac{e^z}{z^{n1}} dz1其中 C 是半径为 \rho中心为 0 的圆\\ 1 \displaystyle \frac{n!}{2\pi i} \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{\rho e^{i\theta}}}{\rho^{n1} e^{i(n1)\theta}} i\rho e^{i\theta} d\theta\\ \displaystyle \frac{2\pi \rho^n}{n!} \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{\rho(\cos \theta i\sin\theta)}}{\cos n\theta i\sin n\theta} d\theta\\ \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{\rho\cos\theta}[\cos(\rho\sin\theta)i\sin(\rho\sin\theta)]}{\cos n\theta i\sin n\theta} d\theta\\ \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{\rho\cos\theta}[\cos(\rho\sin\theta)i\sin(\rho\sin\theta)](\cos n\theta - i\sin n\theta)}{(\cos n\theta i\sin n\theta)(\cos n\theta - i\sin n\theta)} d\theta\\ \displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{\rho\cos\theta}[\cos(\rho\sin\theta)\cdot\cos n\theta\sin(\rho\sin\theta)\cdot\sin n\theta]i[\sin(\rho\sin\theta)\cos n\theta-\cos(\rho\sin\theta)\sin n\theta] d\theta\\ \displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{\rho\cos\theta} \cos(\rho\sin\theta - n\theta) d\theta \underbrace{i\int_{0}^{2\pi} \sin(\rho\sin\theta - n\theta)}_{奇函数积分为0} d\theta\\ \displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{\rho\cos\theta} \cos(\rho\sin\theta - n\theta) d\theta \end{aligned}​7.证明∫02π​eρcosθcos(ρsinθ−nθ)dθn!2πρn​n为自然数解令g(z)ez则g(n)(z)为g(z)的n阶导数、ez解析全域g(n)(0)2πin!​∮C​zn1ez​dz1其中C是半径为ρ中心为0的圆12πin!​∫02π​ρn1ei(n1)θeρeiθ​iρeiθdθn!2πρn​∫02π​cosnθisinnθeρ(cosθisinθ)​dθ∫02π​cosnθisinnθeρcosθ[cos(ρsinθ)isin(ρsinθ)]​dθ∫02π​(cosnθisinnθ)(cosnθ−isinnθ)eρcosθ[cos(ρsinθ)isin(ρsinθ)](cosnθ−isinnθ)​dθ∫02π​eρcosθ[cos(ρsinθ)⋅cosnθsin(ρsinθ)⋅sinnθ]i[sin(ρsinθ)cosnθ−cos(ρsinθ)sinnθ]dθ∫02π​eρcosθcos(ρsinθ−nθ)dθ奇函数积分为0i∫02π​sin(ρsinθ−nθ)​​dθ∫02π​eρcosθcos(ρsinθ−nθ)dθ​