《信号与系统》（9）|连续信号与离散信号——从模拟雷达到数字雷达的跃迁

1935年英国科学家沃森-瓦特Watson-Watt发明了世界上第一台实用雷达。这部雷达工作于200MHz频段采用电子管放大电路天线接收到的回波是连续变化的电压信号经过混频、中放、检波后最终显示在阴极射线管CRT示波器上。操作员面对的是一条连续跳动的波形通过目视判读目标的距离和方位。2026年的今天一部工作在77GHz频段的毫米波雷达可以集成在手持终端中。天线接收到的回波经过低噪声放大器LNA和混频器后被高速模数转换器ADC以100MS/s的采样率数字化送入数字信号处理器DSP进行脉冲压缩、动目标检测、恒虚警处理等一系列算法运算最终在数字屏幕上显示目标的距离、速度和角度信息。从1935年到2026年雷达技术完成了从模拟到数字的跃迁。这场跃迁的起点正是从连续信号向离散信号的过渡。理解这两个概念的本质差异不仅关乎信号与系统学科的理论基础更是掌握现代数字技术的关键前提。1 连续信号的数学描述与物理意义1.1 数学定义连续信号是指在时间上连续变化的信号记作x ( t ) x(t)x(t)。其中自变量t tt为连续实数可以取任意实数值函数值x ( t ) x(t)x(t)表示信号在时刻t tt的幅度可以是连续值也可以是离散值幅度量化。从函数空间的角度看连续信号属于无限维函数空间。这意味着要完全描述一个连续信号理论上需要无限多个参数。例如一个定义在区间[ 0 , T ] [0, T][0,T]上的连续信号x ( t ) x(t)x(t)可以用傅里叶级数展开为x ( t ) a 0 ∑ [ a n cos ⁡ ( 2 π n f t ) b n sin ⁡ ( 2 π n f t ) ] , n 1 , 2 , 3 , … ( 1 ) x(t) a_0 \sum[a_n\cos(2\pi nft) b_n\sin(2\pi nft)], n 1, 2, 3, \ldots(1)x(t)a0​∑[an​cos(2πnft)bn​sin(2πnft)],n1,2,3,…(1)其中系数a n a_nan​、b n b_nbn​有无限多个每个系数都需要一个独立的参数来描述。这正是连续信号处理的困难所在无限维空间无法直接用计算机处理。1.2 物理意义连续信号的本质是模拟真实世界的物理量。在雷达系统中以下物理量都表现为连续信号1天线接收的回波电压电磁波在空间连续传播感应到天线上产生连续变化的电压信号2混频器输出的中频信号回波与本振信号混频后产生连续的中频正弦波3检波器输出的视频信号中频信号经过包络检波得到连续的视频脉冲。这些连续信号共同的特点是在任意两个时刻之间信号都有定义且连续变化。这正是模拟雷达时代信号处理的基本对象。2 离散信号的采样理论与量化过程2.1 从连续到离散采样定理离散信号通常由连续信号采样得到。采样过程可以数学描述为x [ n ] x ( n T s ) , n 0 , ± 1 , ± 2 , … ( 2 ) x[n] x(nT_s), n 0, \pm 1, \pm 2, \ldots(2)x[n]x(nTs​),n0,±1,±2,…(2)其中T s T_sTs​为采样周期单位sf s 1 / T s f_s 1/T_sfs​1/Ts​为采样频率单位Hzn nn为采样点序号整数。采样将连续时间t tt离散化为n T s nT_snTs​将无限维的连续信号转换为可数无穷的离散序列。采样定理奈奎斯特 - 香农采样定理指出要从采样信号x [ n ] x[n]x[n]无失真地恢复原连续信号x ( t ) x(t)x(t)采样频率f s f_sfs​必须大于信号最高频率f m a x f_{max}fmax​的 2 倍即f s 2 f m a x ( 3 ) f_s 2f_{max}(3)fs​2fmax​(3)这个看似简单的不等式却是数字信号处理的基石。它揭示了连续世界与离散世界的根本约束采样率不足会导致高频分量伪装成低频分量这种现象称为混叠Aliasing。在雷达系统中混叠会导致严重的目标速度测量错误。例如当脉冲重复频率PRF为 1 kHz 时最大不模糊多普勒频率为 500 Hz。如果目标的真实多普勒频率为 600 Hz它会被错误地识别为 400 Hz对应的目标速度测量误差可达 20%。2.2 量化过程采样仅完成了时间离散化要得到计算机可处理的数字信号还需要幅度量化。量化过程将连续的幅度值映射到有限个离散电平x q [ n ] Q { x [ n ] } k ⋅ Δ , k ∈ Z ( 4 ) x_q[n] Q\{x[n]\} k \cdot \Delta, k \in \mathbb{Z}(4)xq​[n]Q{x[n]}k⋅Δ,k∈Z(4)其中Δ ΔΔ为量化间隔k kk为整数。对于B BB位 ADC量化电平数为2 B 2^B2B量化间隔Δ V m a x / 2 B Δ V_{max}/2^BΔVmax​/2BV m a x V_{max}Vmax​为 ADC 的满量程电压。量化过程引入量化误差e q [ n ] x [ n ] − x q [ n ] eq[n] x[n] - xq[n]eq[n]x[n]−xq[n]该误差在[ − Δ / 2 , Δ / 2 ] [-Δ/2, Δ/2][−Δ/2,Δ/2]区间内均匀分布。量化信噪比SNRq与量化位数B BB的关系为S N R q ≈ 6.02 B 1.76 d B ( 5 ) SNRq ≈ 6.02B 1.76 dB(5)SNRq≈6.02B1.76dB(5)这意味着每增加 1 位量化精度信噪比提高约 6 dB。现代雷达 ADC 通常采用 12-16 位量化对应的量化信噪比为 74-98 dB足以满足大多数雷达应用的需求。3 连续与离散的核心区别特性连续信号离散信号自变量t连续实数n离散整数时间轴连续离散表示方式x(t)x[n]运算工具微分、积分差分、求和系统描述微分方程差分方程变换工具傅里叶变换离散傅里叶变换4 模拟雷达与数字雷达的信号处理对比4.1 模拟雷达的信号流模拟雷达的典型信号流为在这个信号链中从天线到检波器的所有环节处理的都是连续信号。中频放大器通常采用 LC 谐振电路实现带通滤波检波器采用二极管包络检波示波器用电子束偏转显示波形。所有这些电路都是模拟电路信号以连续电压的形式在电路中传输和处理。模拟雷达的局限性在于无法存储信号、无法重处理、滤波特性固定、无法实现复杂的信号处理算法。这使得模拟雷达在杂波抑制、目标识别、多目标跟踪等方面能力有限。4.2 数字雷达的信号流数字雷达的典型信号流为关键的变化在于 ADC 之后的环节。ADC 将连续的中频信号转换为离散的数字序列DSP 或 FPGA 对这些数字序列进行脉冲压缩、动目标检测、恒虚警处理、角度估计等算法运算。所有处理都是在离散域完成的。数字雷达的优势在于信号可存储和重处理、滤波特性可通过软件配置、可实现复杂的自适应算法、支持多通道并行处理。这使得现代雷达在杂波抑制、目标识别、多目标跟踪等方面性能大幅提升。5 结 论连续信号与离散信号是信号与系统学科的基础概念也是雷达技术从模拟时代迈向数字时代的关键桥梁。本文从雷达发展史引入系统阐述了连续信号和离散信号的数学定义、物理意义、核心区别以及它们在模拟雷达和数字雷达中的具体应用。重点结论如下1连续信号描述真实世界的物理量属于无限维函数空间无法直接用计算机处理2离散信号由连续信号采样和量化得到属于可数无穷序列是计算机可处理的形式 ADC 是连接连续世界与离散世界的桥梁采样定理是数字化的基本约束3从模拟雷达到数字雷达的跃迁本质上是信号处理从连续域到离散域的跃迁这一跃迁带来了信号处理能力的质的飞跃。掌握连续信号与离散信号的概念将为后续学习采样与重建、Z 变换、数字滤波器设计等知识奠定坚实基础。