杨辉三角的重要性质

张开发
• 2026/4/9 8:17:22 • 15 分钟阅读

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杨辉三角的重要性质
【杨辉三角的重要性质】● 杨辉三角又称帕斯卡三角是一个由数字排列成的三角形数表其核心规律是每行首尾均为 1中间每个数等于它上方两个数之和本质上是二项式系数的直观排列是数学与信息学中递推思想的经典模型。● 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列。1杨辉三角第 n 行n≥1包含 n 个数字对应二项式 (ab)ⁿ⁻¹ 展开式的系数。其中(ab)ⁿ C(n,0)aⁿ C(n,1)aⁿ⁻¹b¹ C(n,2)aⁿ⁻²b² … C(n,n-1)a¹bⁿ⁻¹ C(n,n)bⁿ。2杨辉三角第 n 行第 k 个数等于组合数 C(n-1,k-1)。其中C(n,k) n! ∕ (k!·(n−k)!)。3杨辉三角每行数字左右对称C(n,k)C(n,n−k)。4杨辉三角第 n 行的数字和为 2ⁿ⁻¹。5杨辉三角左对齐后沿‌ 45° 斜线‌↙方向的数字和构成斐波那契数列。6杨辉三角左对齐后第 i 行第 j 列的数第 i-1 行第 j-1 列的数第 i-1 行第 j 列的数。正是组合数性质C(i, j)C(i-1, j-1)C(i-1, j)的几何体现。● 计算给定数字在杨辉三角中按行优先遍历首次出现的序号从 1 开始计数1由于杨辉三角的每行数字均呈严格左右对称且满足组合数性质C(n,k)C(n,n−k)因此在计算与构造时我们仅需关注对称轴左侧的数字即可。2若行号与列号均从 1 开始计数则杨辉三角第 i 行对称轴上的数可表示为组合数C(2(i−1), i−1)。显然图示各行对称轴上的数分别为 C(0,0)1、C(2,1)2、C(4,2)6、C(6,3)20。3杨辉三角对称轴左侧的数字在每条左上至右下的斜线↙上单调不减在每条左至右的横线→上也单调不减。因此可以采用二分的思想进行求解。【参考文献】https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/159937659

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